دانلود ارتعاشات (docx) 23 صفحه
دسته بندی : تحقیق
نوع فایل : Word (.docx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحات: 23 صفحه
قسمتی از متن Word (.docx) :
ارتعاشات
ارتعاشات چیست؟
لرزش یا همان ارتعاشات مکانیکی به نوعی از حرکت سیستمهای دینامیکی اطلاق می شود که به صورت نوسانی (رفت و برگشتی) صورت پذیرفته و حرکت در یک بازه زمانی (پریود ارتعاش) تکرار شود.
این نوع حرکت را در ساده ترین شکل می توان با یک جرم و یک فنر شبیه سازی کرد. با القاء یک تغییر مکان اولیه به جرم متصل به فنر و رها کردن آن، حرکت نوسانی رخ می دهد که می توان دامنه آن را به کمک یک تابع سینوسی بیان نمود.
INCLUDEPICTURE "http://www.cbmschool.com/www.cbmschool.ir/images/Vib/" \* MERGEFORMATINET
مفاهيم اوليه ارتعاشات
مشخصه های مهم حرکت ارتعاشی (لرزش) عبارتند از:
دامنه، که معیاری از شدت ارتعاش (لرزش) است.
فرکانس یا تواتر، که معیاری از نرخ حرکت در واحد زمان است.
فاز، که توالی حرکت را نسبت به یک مرجع مشخص می سنجد.
دامنه ارتعاش را می توان از طریق سه پارامتر مختلف بیان کرد:
جابجایی
سرعت
شتاب
جابجایی چیست؟
پارامتر اولیه دامنه که در مورد سیستم جرم و فنر، موقعیت جرم را در هر لحظه به دست می دهد.
واحدهای اندازه گیری جابجایی:
در سیستم SI: μm
در سیستم اینچی: mils که برابر یک هزارم اینچ است.
منظور از سرعت چیست؟
سرعت، از نظر ریاضی مشتق جابجایی است که نرخ تغییرات جابجایی در واحد زمان را نشان می دهد.
واحدهای اندازه گیری سرعت:
در سیستم متری: mm/s
در سیستم اینچی: in/s
منظور از شتاب چیست؟
شتاب از نظر ریاضی، مشتق سرعت است و نرخ تغییرات سرعت در واحد زمان را نشان می دهد.
واحدهای اندازه گیری شتاب:
در سیستم متری: g و یا m/s2
در سیستم اینچی: g و یا in/s2
چه ارتباطی میان جابجایی سرعت و شتاب وجود دارد؟
به طور کلی دامنه هر موج سینوسی را به سه شکل می توان تعیین کرد:
مقدار 0-p (صفر تا پیک)
مقدار p-p
مقدار rms یا مقدار مؤثر
مقدار میانگین
شکل زير را ببینید:
منظور از فرکانس و فاز ارتعاشات چیست؟
پریود زمانی حرکت (T) بازه زمانی است که سیکل ارتعاشی خود راتکرار می کند. فرکانس ارتعاشات در واقع عکس پریود زمانی است.
واحدهای اندازه گیری فرکانس:
Hertz = 1 / s
cpm= Cycle per minute
cps = Cycle per second
که داریم:
1Hz = 1 cps = 60 cpm
فاز، همیشه نسبت به یک مرجع سنجیده می شود و توالی حرکت را نسبت به آن نشان می دهد.
واحد اندازه گیری فاز:
درجه °))
ارتعاشات مکانیکی چیست؟
(مکانیک)
ارتعاشات مکانیکی
حرکت نوسانی یک متحرک را حول نقطه ایی با عنوان نقطه تعادل می توان ارتعاش نامید . در حقیقت متحرک در زمان های مساوی و متوالی (زمان تناوب ) حرکت خود را عینا " تکرار می کند . جابجایی هر ذره در حرکت تناوبی را همواره می توان بر حسب سینوس و کسینوس بیا ن کرد . از آنجا که اصطلاح هماهنگ (هارمونیک) به عبارت هایی اطلاق می شود که شامل این توابع هستند، حرکت تناوبی را اغلب هماهنگ گویند.
کمیت های ارتعاش:
1- دوره تناوب : دوره تناوب حرکت هارمونیک عبارتست از زمان لازم برای انجام یک رفت و برگشت . یعنی یک نوسان یا چرخه کامل
2- بسامد(فرکانس): عبارتست از تعداد نوسان ها در واحد زمان برحسب هرتز
3- وضعیت تعادل: موضعی را که در آن، به ذر ه در حال نوسان هیچ نیرویی وارد نمی شود موضع تعادل می نامند.
4- جابجایی ( خطی یا زاویه ایی) : عبارتست از فاصله خطی یا زاویه ایی ذره نوسان کننده از موضع تعا دل آن در هر لحظه روی دایره ایی که شعاع آن برابر دامنه است
p 5- معادلات حرکت نوسانی ساده : در نظر می گیریم که ذره بر w و سرعت زاویه ایی ثابت v حرکت نوسانی است و آن را دایره مرجع می نامیم با سرعت ثابت حسب رادیان بر ثانیه حرکت می کند بطوری که مدت یک دور حرکت آن روی ا ین دایره برابر زمان تناوب حرکت نوسانی باشد.
6- معادله سرعت : سرعت لحظه ایی مشتق معادله حرکت است بنابر این ب رای بدست آوردن معادله سرعت لحظه ایی متحرک در حرکت نوسانی ساده کافی است از معادله حرکت مشتق بگیریم
7- معادله شتاب: شتاب لحظه ای، مشتق معادله سرعت است و فرکانس زاویه ایی نوسان می کند، A 8- انرژی ارتعاش: انرژی جرمی که با حرکت هارمونی ساده با دامنه مجموع انرژی پتانسیل و جنبشی آن می باشد.
9- انرژی پتانسیل مقدار کاری است که جرم هنگام تغییر مکان از حالت تعادل برای تغی یر طول فنر انجام می دهد.
انرژی دستگ اه به فرکانس و دامنه بستگی دارد . این ارتباط در بیشتر پدیده های آگوستیکی بویژه در مورد منابع تولید صوت و موج های صوتی دیده می شود.
10 - نیروی وارد بر ذره مرتعش: این نیرو در دو حد نوسان ثابت نیست
11 - حرکت هماهنگ میرا: اگر بر نوسانگر نیروی اصطکاکی وارد نمی شد، یک نوسانگر برای همیشه در حال نوسان بود . اما واقعیت این است که در اثر اصطکاک دامنه نوسان رفته رفته کاهش می یابد و به صفر می رسد و میرا می شود. این حرکت را حرکت هماهنگ میرا می نامیم
اصطکاک غالبا " از مقاومت هوا یا نیر و های داخلی ناشی می شود . بزرگی ا ین نیرو معمولا " به سرعت ب ستگی دارد و در بیشتر موارد با سرعت جسم متناسب ولی در خلاف جهت آن است.
با در نظر گرفتن وجود یا عدم وجوب عامل میرا کننده، ارتعاش به شکل زیر تقسیم بندی می گردد:
به فنری با ضریب فنریت M 1- ارتعاش آزاد : یک سیستم ارتعاشی را در نظر بگیرید . در این سیستم جرم را از حالت تعادل خارج کند سیستم شروع F متصل است . هنگامی که نیرویی مانند K ( (سختی
به نوسان خواهد کرد. در صورتی که به وسیله ایی سیستم را از حالت تعادل خارج کرده و نیروی دیگری
بر آن وارد نشود سیستم به ارتعاش در آمده و حرکت آن را ارتعاش آزاد می نامند . این ارتعاش نش ان
دهنده رفتار یا حرکت سیستم است.
2- ارتعاش واداشته : در صورتی که سیستم تحت تاث یر نیروی محرکه سینوسی قرار گیرد ، با فرکانس این نیرو، ارتعاش خواهد کرد و در صورت ادامه این نیرو، ارتعاش سیستم از نوع واداشته است.
- اثرات ارتعاش روی انسان:
واکنش انسان نسبت به ارتعاش ب ر اساس اثر برخی خصوصیات ارتعاش در بدن است . اثرات فیزیولوژیکی و روانی ارتعاشات مکانیکی در فرد ناشی از جابحایی نوسانی یا تغییر وضعیت ، اسکلت، اعضاء و انتهای بدن می باشد . بطوری که باعث اختلاف عمل طبیعی و تحریک گیرنده های مکانیکی حساس به ارتعاش می گردد.
ارتعاش اختصاصا " در طیف فرکانسی 1 تا 30 هرتز باعث تنزل یا گسیختگی در انجام کار وسیله تاثیر بر
نوسانات جزئی بین فرد با نقطه دید یا محل تماس فیزیکی وی با کار می گردد.
- دریافت ارتعاشات توسط بدن:
1- ارتعاش تمام بدن: در حالتی است که تکیه گاه فرد به ارتعاش در می آید
2- ارتعاش موضعی ( دست و بازو ) : در حالتی است که قسمتی از بدن به ارتعاش در می آید
مراکز دریافت کننده ارتعاش شامل : دریافت کننده های پوستی و دریافت کننده نسج ها
می باشند . تشکیلات گوش داخلی نیز در برابر تمامی ارتعاشات که به بدن منتقل می شود واکنش نشان می دهد . آستانه دریافت ارتعاشات ب ه نوع ارتعاش ، حساسیت دریافت کننده و وسعت سطح تماس بستگی دارد.
نتایج حاصل از دریافت ارتعا ش ات در بدن بسته به نوع فرکانس دریافت شده متفاوت می باشد . در
فرکانس های بالا احساس سوزن سوزن شدن بوجود می آید و در فرک انس های پایین فرد احساس حرکتی مثل تاب خوردن و تکان خوردن می کند.
- اثر ارتعاش تمام بدن : اگر بدن توسط یک محرک ارتعاشی قوی و با فرکانس نزدیک به فرکانس های تشدید بدن مرتعش گردد، تخریب ناشی از تشدید ارتعاش رخ می دهد.
ارتعاش تم ام بدن در وسایل حمل و نقل هوایی ، زمی نی، دریایی، ساختمانها و محیط های کار وجود دارد .
تمام بدن در تماس با انواع مته های برقی و چ کش های بادی به ارتعاش در می آید . بطور کلی ارتعاش تمام بدن در محدوده 1 تا 20 هرتز برای شاغلین به عنوان یک عامل زیان آور محسوب می شود.
اثرات فیزیولوژیکی و روانی ارتعاشا ت مکانیکی بر انسان در اثر به نوسان در آوردن بافت های بدن بوجود
می آید.و سبب بر هم زدن اعمال طبیعی و همچنین تحریک گیرنده های مکانیکی در انسان می گردد.
جذب انرژی ارتعاشی در فرکانس های پایین به توسط بدن انسان و نیز تحریک گیرنده های مکانیکی
مد های خاص ا رتعاش ناشی از ارتعاش مداوم یا نیروی ضربه ایی به بدن بستگی به فاکتور های
بیو دینامیکی داخلی و خارجی دارد.
الف- عوامل خارجی:
1- شدت نیروی ارتعاش
2- جهت، محل و سطح اعمال ارتعاش
3- ماهیت حمایت و حفاظت از فرد
4- قدرت مستهلک کنندگی سازه هایی که ارتعاش از راه آنها وارد می شود
5- ماهیت، توزیع و وزن هر بار خارجی روی بدن (لباس های کار،ابزار آلات چسبیده به بدن)
ب- عوامل داخلی:
1- ساختمان فردی
2- میزان میرایی و خاصیت فنریت بافت
3- وضعیت نسبی اجزاء و اندام های بدن
4- فعالیت فرد
5- درجه سختی یا کشش عضلات
- فیزیولوژی ارتعاش تمام بدن
اثرات فیزیولوژی ارتعاشات تمام بدن را می توان به دو دسته اساسی تقسیم نمود:
الف- تغییراتی که می توان آنها را مستقیما " به فرکانس ارتعاش منسوب داشت و معمولا نتیجه تشدید بدن در فرکانس های رزونانس می باشد.
ب- تغییراتی که بیشتر در نتیجه شدت و مدت زمان م واجهه با ارتعاش بوجود آمده و کمتر به فرکانس
ارتعاش وابسته است.
صدماتی که در اثر فرکانس ارتعاش ایجاد می گردد معمولا " پس از مواجهه طولانی با محرک ارتعاشی در گستره های فرکانسی خاص بروز می نماید
فرکانس کم و شدت متوسط (در منطقه 2 تا 20 هرتز ) ایجاد یک واکنش عموم ی قلبی ریوی می نماید که علائم آن مشابه با علائم حاصله از تمرینات متوسط بدنی است . نتایج حاصل از این واکنش ایجاد تغییرات فزاینده اعمال قلبی – تنفسی است که به صورت برون ده قلب، ازدیاد تهویه ریوی و افزایش مصرف اکسیژن می باشد. فشار خون نیز ممکن است با افزایش کم یا متوسط روبرو گردد.
اثرات وابسته به شدت و طول مواجهه در نتیجه حرکت اجزاء بدن در مقابل یکدیگر حادث می گردند .
ارتعاشات مکانیکی تمام بدن یا ارتعاش عضلات یا تاندون های آنها باعث افزایش انقباض یا گرفتگی در آنها می گردد که در نهایت می تواند سبب تداخل در وضعیت کاری اعضاء گردد.
- اثرات مزمن ارتعاش تمام بدن :
از مدتها پیش تعدادی از ناراحتی های نخاعی را به مواجهه شغلی و مزمن با حرکت شدید وسایل نقلیه در حال کار از قبیل تراکتور های کشاورزی و .... منسوب می دانستند.
- اثر ارتعاشات با فرکانس متوسط و با لا: این ارتعاشات بیشتر از دستگاههایی که با هوای فشرده کار می کنند مانند قیچی ، مته، چکشهای سوراخ کننده و غیره حاصل می شود . دستگاههایی مانند
سنگ شکن نیز می توانند این ارتعاشات را ایجاد نمایند. این ارتعاشات بطور متوسط فرکانسی بین 11 تا
1500 هرتز دارند . یکی از مهمترین اثرات ی که توسط دستگاههای فوق الذکر به انسان اعمال
می شود تاثیر بر دست و بازو است
این سندرم : Hand Arm Vibration Syndrome (HAVS ) -
سندرم ارتعاش دست و باز و ترکیب علائم و نشانه هایی است که بیشتر اوقات در کارگرانی که از ابزار مرتعش دستی استفاده می کنند بوجود می آید . بسیاری از علائم و نشانه های آن همچنین در دیگر موارد بالینی همانند
بیماری رینولدز اولیه، بسته شدن عروق، سندرم تونل کارپال و ... دیده می شود.
حرفه ایی برای سابقه تماس و استفاده از ابزار های مرتعش HAVS یک مسئله ضروری در تشخیص
چون دریل چکش های خرد کننده ، سنگ سنباده ، ابزار های پرچ کاری، اره های زنجیری و ... است.
- جهات ارتعاش : این جهات با توجه به خصوصیات بدن و اینکه ارتعاش از چه ناحیه ایی وارد بدن شود
Y عبارتست از محور طولی بدن، محور Z که محور Z وY،X بسیار مهم است . جهات بدن عبارتند از
عبارتست از محور عمقی بدن ( از پشت به جلو). لازم به ذکر X عبارتست از محور عرضی بدن و محور
است که نقطه تقاطع این سه محور را قلب در نظر می گیرند.
مثال ، پاسخ هارمونیکی مخزن آب :
L=300(ft)
Din = 8(ft)
Dout = 10(ft)
Wtot = 6×105 (lb)
E = 4×106 (psi)
الف)ωn= ?τn= ?
ب ) x= 0 x0= 10 in →xt=?
xmax =? xmax =?
k=pδ= 3EIl3
I= π64 D04- Di4 = 600.9554 × 104 ( in4 )
K= 3×4×106(600.9554×10436003=1545.6672ibin
(الف ωn=km=1545.6672×386.46×105=0.9977radsec
τn=2πωn=2π0.9977=6.2977 sec
(ب x0=10in , x0=0
xt=A0sin(ωnt+∅0)
A0=[x02+(x0ωn)2]12=x0=10 in
∅0=tg-1x0ωn0=π2
→ xt=10 sin(0.9977t+π2)=10 cos 0.9977 t in
(ج xt=100.9977cos0.9977t+π2
→ xmax=A0ωn=100.9977=9.977(insec)
xt=-10(0.9977)2sin0.9977t+π2
→xmax=A(ωn)2=10 (0.9977)2=9.9540(insec2)
مثال) ارتعاشات آزاد بر اثر ضربه:
جرم m از ارتفاع h روی جرم M سقوط پاسخ سیستم را بیابید؟ x(t)= ?
mvm=M+mx0
x0=mM+mvm=mM+m2gh
x0=-mgk , k=3 EIL3
x(t)=A cos(ωnt-∅) A=[x02+(x0ωn)]12 , ∅=tg-1(x0x0ωn)
ωn=kM+m=3 EIL3M+m
اگر فرکانس طبیعی را داشته باشیم ،مقادیر دیگر مثل مدول یانگ را می توان بدست آورد .
مثال : فرکانس طبیعی مستقیم قرقره اي را بیابید ؟
جرم وزنمعادل ثابت=جرم خالص مکان تغییر
WKeq=4w1k1+1k2= 4wk1+k2k1k2
keq=k1k24(k1k2)
mx+keqx=0 ωn=(keqm)12=[k1k24mk1k2]12 radsec
ارتعاشات آزاد سیستم های پیچشی نامیرا:
آونگ پیچشی
kt=mtθ=πGd432l
J0θ+ktθ=0 ωn=(ktJ0)12
J0=phπD432=WD28g τn=2π(J0kt)12
dn=12π(ktj0)12
θt=A1cos ωnt+A2sinωnt
A1=θ0 , A2=θ0ωn
فرکانس طبیعی آونگ مرکب :
معادله دیفرانسیل غیر خطی مرتبه دوم : J0θ+wdsinθ=0
انتگرال گیری عددی
تقریب زدن این معادل به صورت معادله خطی : sinθ≈θ
ωn=(wdJ0)12=(mgdJ0)12
بامقایسه باآونگ ساده : معادل طول l=J0md
J0=mk02 , ωn=(gdk02)12 , l=(k02d)
K0 : شعاع ژیراسیون حول نقطهO
KG : شعاع ژیراسیون حول نقطه G
K02=KG2+d2
درنتیجه :l=KG2d+d, GA= KG2d l=GA+d=OA
→ωn=(gk02d)12= (gL)12=(gOA)12
یعنی تفاوت نمی کند که آونگ حول نقطه o نوسان کند ، یاحول نقطه A ، دردوحالت فرکانس طبیعی آن یکسان است .
نقطه A را مرکز ضربه گویند .
کاربردهای مرکز ضربه :
شکل چکش طوری است که مرکز ضربه آن درسرچکش و مرکز دوران آن دردسته چکش قرارگیرد ، دراین حالت ، هیچ واکنش عمودی دردسته چکش براثر نیروی ضربه ای سرچکش به وجود نمی آید.
در بيس بال ، نقطه برخورد چوگان ، با توپ درمرکز ضربه است . اگرنقطه برخوردچوگان توپ درنزدیک سرآزاد چوگان باشد براثر نیروی مذکور ، دست بازیکن دردخواهد گرفت .
تست ضربه
اتومبیل ، دست اندازهای جاده : مرکز دوران روی یکی از اکسل ها ، و مرکز ضربه روی اکسل دیگر.
شرایط پایداری :
ml23θ+2kl sinθl cosθ-Wl2sinθ=0 sinθ≈θ
ml23θ+2kl2θ-wl2θ=0 → θ+12kl2-3wl2ml2θ=0
حالت اول : 12kl2-3wl2ml2>0
θt=A1cosωnt+A2sinωnt
ωn=(12kl2-3wl2ml2)12
نوسان در این حالت پایدار است .
حالت دوم :12kl2-3wl2ml2=0 θ=0
θt=c1t+c2⟶ θt=0=θ0
θt=0=θ0
θt=θ0t+θ0
یعنی اگر θ=0 ،آونگ در وضعیت θ0 باقی می ماند .
حالت سوم :اگر α=(3wl-12kl22ml2)12 3wl-12kl22ml2<0
θt=B1eαt-B2e-αt ⟶ θt=0=θ0
θt=0=θ0
θt=12α[αθ0+θ0eαt+(αθ0-θ0)e-αt
این تعادل ناپایدار است چون گشتاور بازگردان فنراز گشتاور غیر بازگردان وزن کمتر است .
روش ریلی :
روش انرژی T+U=cte در نتیجه T1+U1=T2+ U2
حالت اول (1) : لحظه عبور جرم از وضعیت تعادل U1=0
حالت دوم (2) : لحظه متناظربا ماکزیمم تغییر مکان جرم T2=0
پس T1+0=0+U2
T1=Tmax , U2=Umax
مثال : فشار سنج برای موتور دیزل ، دود خروجی از یک موتور دیزل چهار زمانه تک سیلندر از یک صدا خفه کن عبور می کند و توسط فشار سنج اندازه گیری می شود :
* فرکانس طبیعی نوسان ستون جیوه در فشار سنج
* کمترین طول لوله فشار سنج به طوری که وقتی سرعت موتور دیزل rpm 600 است . فرکانس نوسان فشار در صدا خفه کن 5/3 برابر فرکانس نوسان ستون جیوه در فشار سنج باشد .
تمرین : با استفاده از قانون نیوتن فرکانس طبیعی را به دست آورید .
الف) فرکانس طبیعی نوسان ستون جیوه :
U=انرژی پتانسیل ستون جیوه بالارفته + انرژی پتانسیل ستون جیوه پائین رفته
=Axγx2+Axγx2=Aγx2
A : سطح مقطع لوله
γ: وزن مخصوص جیوه
T=12جیوه جرم ×(سرعت )2
=12Alγgx2
بافرض حرکت هارمونیکی xt=Xcosωnt
U=Aγ(Xcosωnt)2=AγX2cos2ωnt=Umaxcos2ωnt , Umax=Aγx2
T=12Alγg(-Xωnsinωnt)2=12Aγlωn2gX2sin2ωnt=Tmaxsin2ωnt ،Tmax=12Aγlωn2gX2
ωn=(2gl)12
ب) طول ستون جیوه :
کن خفه صدا فشار نوسان فرکانس=سیلندر تعداد ×موتور سرعت 2=1×6002=300rpm
300rpm=300×2π60=10π radsec
سنج فشار جیوه ستون نوسان فرکانس=10π3.5=9 radsec
(2gl)12=9 →l=2×9.8192=0.243 (m)
مثال : تاثیر جرم فنر بر ωn:
اگرتوزیع جرم فنر را یکنواخت فرض کنیم γs=msl سرعت درجزئی که درفاصله y از انتهای ثابت قراردارد .
y(xl) فرض شود و انرژی جنبشی یک جزء از فنر dT=12msldy(yxl)2 می باشد .
T=12mx+y=0l12msldyy2x2l2=12mx2+12ms3x2=12(m+ms3)x2
U=12kx2
بافرض xt=Xcosωnt
Tmax=12(m+ms3)X2ωn2
Umax=12Kx2
ωn=(km+ms3)12
مثال : تاثیر جرم ستون نگهدارنده مخزن آب برفرکانس طبیعی مخزن :
yx=ymax2l33x2l-x3 , yx=ymax2l33x2l-x3
ماکزیمم انرژی جنبشی تیر : Tmax=120lml(y(x))2dx T=Tmaxcosωnt
ml=طول واحد جرم
Tmax=m2l(ymax2l3)0l(3x2l-x3)2dx=12mlymax24l63335l7=12(33140m)ymax2
Tmax=12meqymax2 meq=33140m Meff=M+meq
ωn=kMeff=kM+33140m
ارتعاشات آزاد، با ميرايي ویسکوز :
همانطور که گفته شد ویسکوز میران نیروی F=-Cx
(-) نشان میدهد نیرو درخلاف جهت سرعت است
پس:
mx=-cx-kx
mx+cx+kx= 0
حل معادله xt=cest→ms2+cs+k=0
S1,2=-c±c2-4mk2m=-c2m±(c2m)2-km
x1t=c1es1t, x2t=c2es2t→xt=c1es1t+c2es2t
C1 و C2 ثابتهایی هستند که از روی شرایط اولیه بدست می آید .
میرایی بحرانی (Cc) :
(Cc2m)2-km=0→Cc=2mkm=2km=2ωnm
نسبت ثابت میرایی (δ):
δ=CCc:ویسکوز میرایی نسبت
C2m=CCc.Cc2m=δωn
→S1,2=(-δ±δ2-1)ωn
xt=c1e-δ+δ2-1ωnt +c2e(-δ-δ2-1)ωnt
δ=0 ارتعاشات نامیرا
1-سیستم کندمیرا (δ<1) :
S1=(-δ+i1-δ2)ωn
S2=(-δ-i1-δ2)ωn
xt=C1 e-δ+i1-δ2ωnt +C2e -δ-i1-δ2ωnt
=e-δωntC1ei1-δ2ωnt+C2e-i1-δ2ωnt
=e-δωntC1+C2cos1-δ2ωnt+iC1-C2sin1-δ2ωnt
=e-δωntC1cos1-δ2ωnt+C2sin1-δ2ωnt
=X0e-δωntsin1-δ2ωnt+ϕ0
X0e-δωntCos1-δ2ωnt-ϕ
برای شرایط اولیه :
xt|t=0=x0 ,xt|t=0=x0