مبانی نظری و پیشینه شبیه‌سازی رفتار آب به هنگام شکست سد (docx) 25 صفحه
دسته بندی : تحقیق
نوع فایل : Word (.docx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحات: 25 صفحه
قسمتی از متن Word (.docx) :
3-1- مقدمه PAGEREF _Toc410593845 \h 21
3-2- شکست سد PAGEREF _Toc410593846 \h 21
3-3- عوامل مؤثر بر شکست سد PAGEREF _Toc410593847 \h 22
3-3-1- نوع شكست سد با توجه به هيدروگراف سيل ناشي از آن PAGEREF _Toc410593848 \h 23
3-4- بررسي عوامل ایجادکننده شكست PAGEREF _Toc410593849 \h 23
3-5- مدل رياضي و روش‌هاي محاسباتي PAGEREF _Toc410593850 \h 25
3-5-1- مدل‌هاي رياضياتي PAGEREF _Toc410593851 \h 25
3-5-2- انتخاب مدل عددی PAGEREF _Toc410593852 \h 26
3-5-3- رويکردهای اساسي براي حل مسائل ناپيوستگي PAGEREF _Toc410593853 \h 26
3-6- معادلات حاکم بر جریان یک بعدی PAGEREF _Toc410593854 \h 29
3-6-1- روشهای حل عددی معادلات حاکم PAGEREF _Toc410593855 \h 32
3-6-1-1- روش اختلاف‌های محدود PAGEREF _Toc410593856 \h 32
3-6-1-2- روش احجام محدود PAGEREF _Toc410593857 \h 33
3-6-1-3- روش حجم کنترل PAGEREF _Toc410593858 \h 34
3-6-1-4- روش المان‌های محدود PAGEREF _Toc410593859 \h 34
3-7- روش حل عددی HLL……………………………………………………… PAGEREF _Toc410593860 \h 35
فصل سوم: مبانی نظری
مقدمه
شكست سد پديده‌اي است كه، صرف‌نظر از علت شكست، تا كنون به ندرت رخ داده است، اما قدرت تخريب سيلاب ناشي از شكست سد به حدي زياد است كه در عمل انجام مطالعات شكست سد را به يكي از بخش‌هاي مهم مطالعاتي، چه براي سدهاي در حال احداث و چه براي سدهاي ساخته‌شده تبديل نموده است. در صورت وقوع شكست سد، خسارات ناشي از انتشار سيلاب بسيار شديد خواهد بود و اين امر مي‌تواند بر بسياري از پارامترهاي طراحي سد تأثيرگذار باشد. به طور کلي مراحل اصلي مطالعات شكست سد را مي‌توان به موارد زير تقسيم نمود.
شبيه‌سازي رياضي نحوه انتشار سيل
مطالعات تحليل خسارت
مطالعات مديريت بحران
يكي از مهم‌ترين گام‌ها و به نوعي بخش پيش‌نياز ساير بخش‌هاي مطالعات، شبيه‌سازي رياضي نحوه انتشار موج ناشي از شكست سد است. چرا که در روند مطالعات نتايج اين شبيه‌سازي در عمل پايه مطالعات تحليل خسارت قرار خواهد گرفت و مطالعات مديريت بحران نيز بر پايه نتايج حاصل از مطالعات تحليل خسارت و همچنين نتايج مدل‌سازی‌های رياضي انجام خواهد شد. با توجه به محدوده وسيع پايين‌دست سد و همچنين وجود پيچيدگي‌هاي هندسي فراوان در اين محدوده وسيع در عمل امكان شبيه‌سازي نحوه انتشار موج ناشي از شكست با استفاده از مدل‌هاي فيزيكي وجود ندارد و کاربرد اصلي مدل‌هاي فيزيکي در اين مطالعات به بررسي روند تخريب بدنه سد محدود مي‌شود (قنادکار سرابی، 1390).
شکست سد
طراحی یک سد با انجام مطالعات گسترده همراه است و مهندسان طراح در برآورد نیروهای وارده اعم از زلزله، باد، فشار آب و غیره از ضرایب اطمینان نسبتاً بزرگی استفاده میکنند. همچنین برای به دست آوردن ابعاد مناسب سرریزها و سایر سازههای کنترلی، از سیلابهای با دوره بازگشت بسیار طولانی استفاده میشود؛ ولی علی‌رغم تمامی احتیاطها و کنترلهای موصوف نمونههای زیادی از پدیدهی شکست سد در طول تاریخ سدسازی رخ داده است که در جدول 3-1 به چند مورد از آن اشاره شده است (چیت سازان، 1389).
جدول STYLEREF 1 \s 3 SEQ جدول \* ARABIC \s 1 1- نمونههایی از پدیده شکست سد (چیت سازان، 1389)
تعداد کشتهحجم مخزن (mm3)ارتفاع تاج سد (m)تاریخ شکستتاریخ احداثنام سد-----222.6-----August 19671962Nanaksagar Dam300----------1985-----Stave1800118.822.56August 1979August 1972Machhu Ⅱ-----178031.2519611879Khadakwasla Dam-----332.693June 19761975Teton Dam (USA)421-----66----------Malpasset Dam450-----62.519281926St. Francisdam (USA)2187------14018891853South Fork Dam2000------26219631959Vajont Dam (Italy)80------14820052003Shakidor Dam (Pakistan)
عوامل مؤثر بر شکست سد
براي شبيه‌سازي هيدروليکي موج ناشي از شکست سد لازم است که در ابتدا هيدروگراف سيلاب ناشي از شکست مشخص گردد. اما اين هيدروگراف خود تابع نوع شکست سد است و به همين دليل نيز لازم است که در ابتدا عوامل مؤثر بر شکست سد را بررسي نمود تا به کمک آن بتوان تخميني از هيدروگراف سيلاب به دست آورد.
نوع شكست سد با توجه به هيدروگراف سيل ناشي از آن
تخريب سدها در يك دسته‌بندي كلي به دو شكل تدريجي و ناگهاني قابل تقسيم است. نوع تخريب سد بستگي به نوع سد و عامل اصلي تخريب دارد. در حالتي كه شكست سد به صورت آني اتفاق افتد كل بدنه سد و يا قسمت اعظم آن از مسير جريان حذف مي‌شود. اين اتفاق ناگهاني باعث ايجاد يك سيل شديد پیش‌رونده خواهد شد. اين در حالي است كه شكست‌هاي تدريجي در يك بازه زماني به وجود مي‌آيد كه ممكن است از چند دقيقه تا چند ساعت متغير باشد. در شكست‌هاي تدريجي با مدت زياد مي‌توان انتظار داشت موج شكست از حالت شوك خارج شود که البته اين حالت در سدهاي کوتاه و با حجم مخزن کوچک رخ خواهد داد، چون در سدهاي مرتفع انرژي ايجاد شده بر اثر حد بالاي جريان باعث تخريب بدنه سد در مدتي کوتاه مي‌گردد و در شكست‌هايي که در مدت زمان كوتاهي اتفاق مي‌افتد كماكان اين پديده شكل خواهد گرفت. اين مسئله باعث ايجاد دو نوع هيدروگراف مي‌شود به نحوي كه در شكست‌هاي ناگهاني هيدروگراف آن از شیب تندی برخوردار است ولي در شكست‌هاي تدريجي، شیب کمتری دارد. اين هيدروگراف از الگوي سيل‌هاي رودخانه‌اي ولي در مقياسي كاملاً متفاوت پيروي مي‌كند. در هر دو نوع هيدروگراف حجم ثابتي در هيدروگراف بايد وجود داشته باشد كه تقریباً برابر حجم مخزن است.
بررسي عوامل ایجادکننده شكست
شكست سد مي‌تواند تحت اثر عوامل طبيعي و تصادفي و يا عمدي به وجود آيد. تخريب‌هاي طبيعي ناشي از وقايع طبيعي پیش‌بینی‌نشده از جمله بارش‌هاي غیر متعارف و سيل ناشي از آن، زمين‌لرزه، نشست‌هاي نامتقارن، لغزش زمين و يا بدنه، نشت شرياني، تراوش از بدنه، سرريزي، برخورد موج با بدنه و يا عوامل ديگر، است. شكست سد در اثر عوامل انساني و يا عمدي مي‌تواند شامل مواردي از جمله هر گونه خرابكاري، بمب‌گذاري و يا انفجار، ضعف سازه‌اي، اشتباهات طراحي، بهره‌برداري غلط مخزن، تخريب بدنه و نقب‌زني در بدنه و يا ديوارها توسط جانوران باشد. در جدول زير عوامل مختلف ايجاد شكست بسته به نوع بدنه، در سه نوع سد خاكي، وزني و قوسي نشان داده شده است.
جدول STYLEREF 1 \s 3 SEQ جدول \* ARABIC \s 1 2- عوامل مختلف ایجادکننده شکست سد(رفیعی،1388)
نوع سدنوع تخريبسدهاي خاكيسرريزينشت شريانیتخريب پياثر موجسدهاي وزنيلغزش سدواژگونيتخريب پيسدهاي قوسيلغزش صخره‌ايبارهاي فوق‌العاده ناشي از سيل‌هاي پیش‌بینی‌نشدهتخريب برشيسرريزي خارج از بدنه
با توجه به برخي اطلاعات موجود تا سال 1971، آمار درصد وقوع شكست بر اساس نوع شكست در ادامه ارائه شده است.
جدول STYLEREF 1 \s 3 SEQ جدول \* ARABIC \s 1 3- آمار درصد وقوع شکست بر اساس نوع شکست(رفیعی،1388)
نوع تخريبدرصد وقوع تا سال 1971مشكل پي40مشكل سرريز23مشكل سازه ضعيف12نشست پیش‌بینی‌نشده10بالا بودن فشار منفذي5جنگ3ايجاد لغزش در مخزن2مصالح نامناسب2بهره‌برداري غلط2زلزله1
مدل رياضي و روش‌هاي محاسباتي
امروزه روش‌هاي محاسباتي ابزار تئوريک مفيدي براي استفاده هستند که ارتباط تنگاتنگي با روش‌هاي تحليلي و آزمايشگاهي دارند. اين روش‌ها که با روش‌هاي تحليلي و آزمايشگاهي ارتباط تنگاتنگي دارند، امروزه وسيله تئوري مفيدي براي مطالعه پديده‌هاي مختلف‌اند.
مدل‌هاي رياضياتي
مرحله دوم آنالیز شکست سد شامل حل عددی جریان متغیر سریع غیر دائمی است. نقطهی شروع براي روش‌هاي محاسباتي، مدل رياضي‌اي است که به زمينه مورد مطالعه بستگي دارد. در مورد پديده جريان سيال، اين مدل‌هاي رياضي مناسب، سيستمي متشکل از معادلات ديفرانسيل جزئي، شرايط اوليه و شرايط مرزي است. اگرچه حل دقيق تحليلي براي سيستم‌هاي غيرخطي معادلات ديفرانسيل جزئي PDEs در شرايط پيچيده و شرايط کلي مرزي و اوليه بسيار دشوار و در برخي موارد غيرممکن است، کسي که پديده را به صورت محاسباتي حل مي‌کند بايد اطلاع کافي از تئوري اصلي PDEs و فرايند حاکم بر پديده داشته باشد. معادلات حاکم بر جریان یک بعدی، شامل معادله پیوستگی و معادله اندازه حرکت میباشد که با انتگرالگیری در مقطع از معادلات ناویر استوکس به دست میآید. مشروح این محاسبات و عملیات در مراجعی مانند جریان کانالهای باز (Henderson,1966) و یا مراجع معتبر دیگر آمده است که تفصیل آن خارج از حوصله این پایان نامه است و فقط به ذکر فرضیات حاکم بر استخراج این معادلات در حالت یک بعدی بسنده میشود.
انتخاب مدل عددی
نکته حائز اهميت در انتخاب مدل‌ها، نوع جريان در پديده شکست سد است. جريان‌هاي ناشي از شكست سد، از نوع جريان متغير سريع هستند كه در آن‌ها هر دو نوع جريان زیر بحرانی و فوق بحرانی وجود دارند. به بيان ديگر در اين نوع جريان‌ها نوعي شوك يا ناپيوستگي وجود دارد كه شديدترين حالت اين شوك در شرايط اوليه وجود دارد. به همين دليل روش حل عددي مورد استفاده براي شبيه‌سازي اين نوع جريان‌ها بايد قادر باشد تا هر دو نوع جريان فوق را همراه با شوك‌هاي موجود در آن‌ها به شكل همزمان و با دقت مناسبي شبيه‌سازي نمايند. موج‌هاي شوک حل‌هاي ناپيوسته از قوانين بقايي هيپربوليک هستند که از برخي شرايط رياضياتي دقيق پيروي مي‌کنند. به منظور مدل کردن موج شوک، شيوه‌هاي ساده عددي کارایی ندارند. استفاده از شيوه نامناسب ممکن است به طول موج نادرست و يا سرعت انتشار غلط و در نتيجه مکان نادرست در زمان معين منجر شود. براي محاسبه درست موج شوک تلاش‌هاي زيادي صورت پذيرفته است. اکنون مي‌دانيم که براي انتشار موج شوک با سرعت درست بايد از شيوه‌هاي عددي بقايي استفاده کنيم. Lax و Wendroff به صورت رياضياتي اثبات کردند که شيوه‌هاي عددي بقايي در حل عددي شوک، اگر همگرا شوند، به جواب درست معادلات دست مییابند. Hou و LeFloch نيز در تکميل اين نظريه اثبات کردند که شيوه‌هاي حل عددي غیر بقایی در صورتی که با موج شوک سروکار داشته باشند به جواب نادرست منجر مي‌شوند. در مورد نوسانات نادرست ایجادشده، گودونوف اثبات کرد که در صورتی که از روش‌هاي خطي با مرتبه دقت بزرگ‌تر از يک استفاده شود، این‌چنین نوساناتی گریزناپذیرند. بنابراين اولين پيام گودونوف، استفاده از شيوه‌هاي غیرخطی است حتي زماني که با مسائل خطي مواجه هستيم (Toro,2001).
رويکردهای اساسي براي حل مسائل ناپيوستگي
دو رويکرد اساسي براي در نظر گرفتن حل مسائل شامل ناپيوستگي وجود دارد.
1-تصحیح شوک
2-تسخیر شوک
رويکرد Shock-Fitting، با ناپيوستگي‌ها همانند مرزهاي داخلي‌اي برخورد مي‌شود که در امتدادشان پرش‌هاي مناسب اعمال شده است و بدين شکل ناپيوستگي‌ها رديابي و تصحیح مي‌شوند. در نواحی دور از اين مرزها، معادلات ديفرانسيل جزئي حاکم با روشي مناسب براي جريانات آرام حل مي‌شوند. بزرگ‌ترين مزيت اين رويکرد آن است که ناپيوستگي‌ها به مانند ناپيوستگي‌هاي واقعي محاسبه مي‌شوند. مهم‌ترين عيب اين رويکرد نيز در برخورد با موجي با اثرات متقابل پيچيده چندبعدي مشخص مي‌شود که اين شيوه را بسيار پيچيده و غيرقابل استفاده مي‌کند. شيوه Front Tracking، در واقع گونه‌اي پيشرفته از Shock-Fitting است و در اين زمينه در سال‌هاي اخير پيشرفت‌هاي تحسين‌برانگيزي صورت پذيرفته است. در رويکرد Shock-Capturing، براي کل محدوده مورد نظر از يک رويه عددي يکسان استفاده مي‌شود و موج‌هاي شوک و ديگر ناپيوستگي‌ها به عنوان بخشي از حل کلي مسئله به دست مي‌آيند. امتياز اصلي اين روش سادگي و جامع بودن اين روش است که واقعاً با آن مي‌توان هر مسئله‌اي را حل کرد. مهم‌ترين ايراد اين رويکرد آن است که ناپيوستگي‌ها را به مانند حالت واقعی‌شان حل نمي‌کند. دسته موفق جديد از روش‌هاي عددي Shock-Capturing، به اصطلاح روش‌هاي دقت بالا ناميده مي‌شوند. اين روش‌ها حاصل تحقيقات گسترده در زمينه قوانين بقايي هيپربوليکي هستند. این‌چنین شيوه‌هاي تسخير شوک در نزديکي موج‌هاي شوک (يا ديگر ناپيوستگي‌ها)، ناپيوستگی را به خوبی مدل میکنند و در بخش‌هاي آرام جريان همچنان درجه دقت بالا را حفظ مي‌کنند. اگرچه گسترش روش‌هاي دقت بالا براي مسائل واقعي تا حدودي تجربی است ولي تاکنون نتايج تجربي خيلي بهتر از شيوه‌هاي عددي مرسوم هستند.
روش‌هاي گودونوف، موج‌هاي شوک را با سرعت انتشار صحيح محاسبه مي‌کند و نوسانات غيرواقعي در مجاورت موج نيز ايجاد نمي‌کنند. روش‌هاي گودونوف، در واقع روش‌هاي تسخير شوک جهت‌مند هستند که توسط گودونوف حدود نيم‌قرن پيش پايه‌گذاري شدند. گودونوف در ابتدا در روش عددي خود از حل دقيق مسئله ريمن استفاده کرد. رويه اوليه او براي حل مسائل ريمن ناکارآمد بود و اين سبب شد تا کل رويکرد جذابيتش را از دست بدهد. او سپس يک حل‌کننده دقيق بسيار سريع ريمن و حل‌کننده‌هاي تقريبي ريمن را ارائه کرد. بعد از آن دو شيوه گسترش مهم روش تسخیر شوک بدين صورت بودند:
عموميت دادن روش مرتبه اول گودونوف، به روش با دقت مرتبه دوم توسط(Van,1973,1976);( Leer,1973,1976).
توسعه دادن حل‌کننده‌هاي تقريبي جديد ريمن توسط(Osher,1982); ( Solomon,1982).
برخي از روش‌هاي حل مسئله ريمن تنها براي شرايطي کاربرد دارند که عمق آب در محدوده حل هميشه بزرگ‌تر از صفر باشد. اين در حالي است که وجود شرط عمق آب صفر، يک موقعيت فيزيکي کاملاً معقول و قابل‌قبول است. بنابراين نيازمند معادلات و روش‌هاي حلي هستيم که بتواند در کنار عمق آب مثبت، شرايط عمق صفر را در نظر بگيرد. يک مثال بسيار ساده از اين شرايط زماني است که در يک طرف سد عمق آب بر خلاف مخزن سد، صفر باشد. اين حالت، يک مورد خاص از مسئله ريمن است. روش مورد استفاده بايد بتواند نواحی خشک را چه در شرايط اوليه و چه در تقابل بين دو محدودهی تر که منجر به ايجاد ناحيه خشک مي‌شوند را در محاسبات خود به خوبي لحاظ کند. بايد توجه شود که ساختار مسئله ريمن که در آن محدوده‌اي با بستر خشک مفروض است به طور اساسي با ساختار مسئله ريمن که در آن کل نواحی داراي عمق آب مثبت هستند، متفاوت است. در حل مسئله ريمن با بستر تر محدوده‌اي به نام محدوده ويژه وجود دارد و در حالت يک‌بعدي آن، هميشه دو خانواده موج حضور دارند که چهار حالت ترکيبي ممکن براي مسئله امکان‌پذير خواهد بود درحالی‌که در حل مسئله ريمن با وجود بستر خشک در يک سمت، ديگر محدوده ويژه وجود ندارد و شرايط کاملاً با حالت قبل متفاوت است (Toro,2001).
براي انجام اين شبيه‌سازي بايد از روش‌هايي كه از آن‌ها به نام روش‌هاي تسخير شوك ياد شده است استفاده نمود. يكي از معروف‌ترين روش‌هايي كه براي شبيه‌سازي اين نوع جريان‌ها وجود دارد، روش تجزيه بردار شار است. اين روش نوعي روش جهت‌گرا با كارايي بالا است كه در آن محاسبات با استفاده از مقادير ويژه و بردارهاي ويژه ماتريس ژاكوبين ماتريس ضرايب انجام مي‌شود. از جمله روش‌هايي كه با استفاده از اين تكنيك ابداع شده‌اند مي‌توان به روش Roe و روش Osher اشاره نمود. روش گودونوف با حل دقيق مسئله ريمن مشخصات فيزيكي بيشتري از جريان را در روش عددي ملحوظ مي‌كند که روش‌هاي همچون روش HLL و يا HLLC از آن دسته‌اند. نکته حائز اهميت ديگر اين است که روش‌هاي تسخير شوك بايد عاري از نوسان باشند. چون در اين نوع مسائل تغييرات مكاني متغيرها بسيار شديد است و به همين دليل در صورتي كه روش‌هاي مورد استفاده نوسان زا باشند، خطاي بسيار شديدي در معادلات وارد مي‌شود و برخی اوقات حل معادلات نيز غير‌ممكن خواهد شد. به روش‌هاي عاري از نوسان، روش‌هاي يكنوا مي‌گوييم. به کمک روش‌هاي تحليل پايداري مي‌توان ثابت نمود كه روش‌هاي عاري از نوسان بايد از مرتبه اول باشند (Toro,2001).
معادلات حاکم بر جریان یک بعدی
معادلات حاكم بر مدل يك‌بعدي معادلات سنت ونانت هستند كه در صورت عدم وجود جريان‌هاي قائم قابل‌توجه و همچنين توزيع غيريکنواخت سرعت در عمق، قابل‌استفاده‌اند. اين معادلات كه شامل يك معادله پيوستگي و يك معادله اندازه حرکت مي‌باشند با فرض غيرقابل تراكم بودن آب، معادلات (3-1) و (3-2) خواهند بود
معادله پیوستگی:
(3-1)
معادله اندازه حرکت:
(3-2)
در معادلات فوق:
η= تراز سطح آب،
= عمق آب
= عرض مؤثر جريان
= دبي جريان
= سطح مقطع جريان
= مقاومت بستر
= شتاب ثقل
= زمان
X= مختصات در جهت مسير رودخانه و يا حركت جريان مي‌باشد.
در شكل زير مشخصات مقطع مورد نظر نشان داده شده است.
شکل STYLEREF 1 \s 3 SEQ شکل \* ARABIC \s 1 1 مشخصات هندسي مقاطع عرضي در معادلات يك‌بعدي(رفیعی ،1388)
اگر ماتریسهای F و U را به فرم زیر فرض کنیم:
(3-3) U=hhu
(3-4) F=huhu2+gh2
آنگاه معادلات جریان در مجاری سطح آزاد به شکل رابطهی زیر خواهد بود :
(3-5) Ut+FUx=0
اگر معادلهی 3-5 را به فرم انتگرالی بنویسیم خواهیم داشت:
(3-6) ∮Udx+FUdt=0
1164590657225t M00t M45967652305050x M00x Mاگر فرض کنیم انتگرال بر روی یک حجم کنترل مانند شکل3-1 گرفته شود، فرم بازشده انتگرال به صورت معادلهی3-7 میباشد.
شکل STYLEREF 1 \s 3 SEQ شکل \* ARABIC \s 1 2 حجم کنترل در روش حجم محدود
(3-7)
برای حل معادله به روش Finite Volume فرضیات زیر را انجام میدهیم:
(3-8) Uin+1=1∆xixi-12xi+12Ux,tn+1dx
(3-9) Uin=1∆xixi-12xi+12Ux,tndx
(3-10) Fi+12=1∆ttntn+1FUxi+12,tdt
(3-11) Fi-12=1∆ttntn+1FUxi-12,tdt
با توجه به تعاریف فوق، معادله انتگرالی 3-7 به صورت رابطه زیر نوشته میشود :
(3-12) Uin+1=Uin-∆t∆xFi+12-Fi-12
که در این معادله Fi+12 و Fi-12 مقادیر شار عبوری از سطوح xi+12 و xi-12 میباشند. با توجه به معادله بالا، برای به دست آوردن مقادیر U در مرحله زمانی آتی، لازم است که مقادیر شار عبوری از دو سطح xi+12 و xi-12 به دست آورده شود. برای این منظور محققان روشهای گوناگونی را پیشنهاد نمودهاند که در این تحقیق از روش HLL (Harten, Lax and van Leer) برای به دست آوردن شار عبوری استفاده شده است.
روشهای حل عددی معادلات حاکم
به علت عدم وجود حل تحلیلی برای معادلات آبهای کم عمق، باید از روشهای عددی برای این منظور استفاده شود مهم‌ترین روشهای عددی جهت حل این معادلات به شرح زیر است:
روش اختلاف‌های محدود
روش اختلاف‌های محدود قدیمی، سادهترین روش برای مدلسازی عددی است که توسط "اولر" در قرن هجدهم میلادی معرفی شده است (Ferziger and Peric,1997). در این روش از فرم دیفرانسیلی معادله حاکم برای منقطع سازی استفاده میشود. میدان حل به مجموعهای از گرههای محاسباتی تقسیم میشود. معادلات در هر گره منقطع میشود. بدین ترتیب در هر گره تقریبهایی بر حسب مقادیر گرهای به جای مشتقات جزیی معادله حاکم جایگزین میشوند. نتیجه یک معادله جبری در هر گره محاسباتی است که در آن مقدار متغیر مسئله در گره مورد بررسی و بسته به روش حل، تعدادی از گرههای مجاور، مجهول هستند.
روش اختلاف‌های محدود در شبکهبندی سازمان‌یافته بسیار ساده و کارا است. روشهای با مرتبه دقت بالا در شبکهبندی منظم به آسانی حاصل میشوند. اما در این روش، از جملات منقطع استفاده‌شده معادله حاکم درک فیزیکی خوبی حاصل نمیشود(Patankar,1980). حفظ خاصیت بقاء نیز منوط به اعمال تمهیداتی ویژه است (Ferziger and Peric,1997). و دست آخر این که محدودیت کاربر آسان این روش در هندسههای منظم و پیچیدگی آن در هندسههای نامنظم که نیازمند انتقال از فضای فیزیکی به فضای محاسباتی (انتقال میدان حل و معادلات حاکم)است از دیگر معایب آن به شمار میرود.
روش احجام محدود
روش احجام محدود توسط Mc Donald در سال 1971 و Mc Cormack و Paully در سال 1972 برای حل معادلات دوبعدی غیر دائمی Euler معرفی و توسط Rizzy و Inouye در سال 1973 به جریان‌های سه بعدی تعمیم داده شد (ضیاء، 1387). خاصیت پایستاری روش احجام محدود مزیتی قابل توجه است. استفاده از "فرم انتگرالی معادلات حاکم" در روش احجام محدود یکی از مزایای مهم این روش است. برخی محققان توصیه کردهاند که در مسائلی که ناپیوستگی در متغیرها وجود دارد، حتماً از فرم انتگرالی برای مدلسازی استفاده شود (Toro,2001). در این صورت تمام جملات منقطع شده که میباید تقریب زده شوند، دارای مفهوم فیزیکی هستند که میتوان این نکته را نیز یکی از دلایل محبوبیت این روش ذکر کرد. در روش احجام محدود محاسبه شار جزء نکات کلیدی میباشد. در سادهترین روش، محاسبه شار با تفاضل مرکزی، از میانگین متغیرهای دو سمت وجه مورد نظر استفاده میشود. با این روش شار مرتبه دو به دست میآید ولی این روش کاملاً ناپایدار است. روشهای تفاضل مرکزی به دلیل بیتوجهی به خصوصیات فیزیکی میدان جریان، برخلاف روشهای بالادستی محبوبیت کمتری دارند. با توجه به اینکه معادلات آبهای کم عمق از نوع هذلولی بوده و مرتبط با پدیده فیزیکی انتشار هستند، به‌کارگیری روشهای از نوع بالادستی ارجح است. یکی از سادهترین روشهای محاسبه شار بالادستی استفاده از مقدار متغیرها در گره بالادست وجه مورد نظر میباشد. با این روش شار با دقت مرتبه یک حاصل میشود. برای افزایش دقت مکانی شار و به تبع آن افزایش دقت مکانی الگوریتم عددی میتوان تعداد بیشتری از گرههای بالادست را در محاسبه شار دخیل نمود.
روش حجم کنترل
برخی این روش را نوعی از انواع تقریب‌های موجود برای منقطع کردن معادلات حاکم در روش اختلاف‌های محدود معرفی کردهاند(Hirsch,1998). برخی دیگر آن را یکی از روشهای باقیماندههای وزندار با تابع وزنی برابر با واحد دانستهاند(Patankar,1980). برخی دیگر به آن به عنوان یک روش کاملاً مستقل و حتی با نام احجام محدود نگریستهاند. صرف‌نظر از سلیقههای مختلف، آنچه همه در آن اتفاق نظر دارند این است که این روش از فرم دیفرانسیلی معادله حاکم بر روی یک حجم کنترل که یک گره محاسباتی را در بر گرفته است، انتگرالگیری میکند.در انتگرالگیری، فرض تغییرات پیوسته بین گرههای مجاور برای تغییر مسئله انجام میشود. برای انتگرالگیری از جملات مختلف معادله حاکم میتوان فرضیات متفاوتی برای تغییرات متغیر مسئله انجام داد؛ زیرا در روش حجم کنترل با حل معادلات منقطع شده، مقادیر متغیرها در گرههای داخل حجم کنترل محاسبه میشود. لذا در این روش نیز مشابه روش اختلاف‌های محدود، مقادیر محاسبه‌شده فقط به گرهها محاسباتی تعلق دارند و نحوه تغییرات متغیرها بین گرههای مختلف و نیز تغییرات متغیرها داخل حجم کنترل تعیین نمیشود(Patankar,1980). پس از محاسبه مقادیر مجهولات در گرهها، فرضیات انجام‌شده برای تغییرات آن‌ها در هنگام انتگرالگیری به فراموشی سپرده میشود(Patankar,1980).
مزیت این روش پایستار بودن روش در سطح حجم کنترل و کل میدان حل است. برای برقراری خاصیت بقاء در سطح حجم کنترل باید شار محاسبه‌شده در وجه مشترک حجم کنترلها یکسان باشند. خاصیت پایداری این روش در شبکهبندی ریز و درشت همواره تأمین میشود. شبکهبندی با اندازههای مختلف حجم کنترل قابل استفاده است. میتوان ابتدا میدان حل را شبکهبندی نمود و سپس گرههای محاسباتی را در مرکز حجم کنترل در نظر گرفت و یا ابتدا گرههای محاسباتی را در میدان حل مشخص کرده، سپس وجه حجم کنترل را در اطراف گرهها و در وسط فاصله دو گره مجاور قرارداد(Patankar,1980). نقص عمده این روش نیز پیچیده شدن کاربرد آن در هندسههای نامنظم علی‌رغم کاربرد آسان آن در هندسههای منظم است که همانند روش اختلاف‌های محدود، نیازمند انتقال میدان حل و معادلات حاکم از فضای فیزیکی به فضای محاسباتی است.
روش المان‌های محدود
روش المان‌های محدود زیرمجموعه‌ای از روشهای تغییرات یا حساب تغییرات است. در روش حساب تغییرات معادله حاکم با ضرب در یک تابع وزنی و انتگرالگیری در کل میدان حل به یک انتگرال وزنی تبدیل میشود. سپس حل تقریبی مسئله در کل میدان با ترکیب خطی مجموعهای از ضرایب ثابت و مجهول و یک سری توابع جبری به نام "توابع شکل" بیان میشود. با جایگذاری فرم تقریبی در انتگرال وزنی، معادله حاکم به صورت فرم ضعیف درآمده، با اعمال شرایطی به فرم انتگرالی، تعداد معادله جبری حاصل میشود. با حل معادلات جبری ضرایب مجهول(موجود در حل تقریبی) محاسبه و در نتیجه حل تقریبی مسئله در کل میدان حاصل میشود.
از نقایص این روش میتوان از ساده بودن آن در مقایسه با روشهای مطرح‌شده قبلی نام برد. همچنین در این روش خاصیت بقاء در سطح المان‌ها تأمین نمیشود، ولی در کل از میدان حل این شرط تأمین میشود (Zienkiewicz and Taylor,2000)). بزرگی ماتریس ضرایب حاصل از این روش نقصی دیگر است که نبودن روش سریع و کارا برای حل چنین ماتریس‌هایی، رسیدن به جواب را از نظر محاسباتی پرهزینه میکند.
روش حل عددی HLL
روش HLL توسط سه نفر از محققین بهنام‌های Lax, Van leer و Harten در سال 1983 ارائه شده است. ایده اصلی در این روش صرف‌نظر از موج میانی و فرض وجود دو موج در ساختار حل مسئله ریمن است که این فرض فقط در مورد حل معادلات آبهای کم عمق در یک بعد صادق است. در این تحقیق از این روش استفاده‌شده که توضیح آن در ادامه آمده است.
بطوريکه در بخش‌هاي قبل نيز اشاره گرديد، روش‌هاي مورد استفاده براي شبيه‌سازي جريان‌هاي ناشي از شکست سد بايد قادر باشند تا در عين شبيه‌سازي جريان‌هاي داراي شوک به شکلي عاري از نوسان و با دقتي مناسب، پيشروي جريان در بستر خشک را نيز شبيه‌سازي نمايند. به همين دليل و با توجه به اهميت موارد فوق، روش HLL براي حل معادلات جريان در اين مدل انتخاب گرديد. اين روش که در زمره روش‌هاي حل تقریبی مسئله ريمن است، يکي از روشهای مناسب براي شبيه‌سازي جريان‌هاي ناشي از شکست سد است. در اين روش شبيه‌سازي پيشروي موج سيلاب در بسترهاي خشک و تر با استفاده از روابط مربوط به هر یک از اين حالت‌ها محاسبه مي‌شود. روش HLL در برخورد با جبهه خشک راه ساده‌اي پيشنهاد مي‌کند. در محاسبه فلاکس‌هاي انتقالي اين روش حل تقريبي مسئله ريمن، از مقادير تقريبي براي سرعت انتشار موج‌هاي چپ و راست استفاده مي‌شود که با SL و SR نشان داده مي‌شوند. در حضور جبهه خشک، مقدار تقريبي براي انتشار امواج برابر با مقدار دقيق سرعت انتشار جبهه خشک منظور مي‌شود.
(3-13) SL=uR-2aRifhL=0usual estimateifhL>0
(3-14) SR=uL+2aLifhR=0usual estimateifhR>0
در روابط فوق uR و uL، به ترتيب سرعت ذره‌ای در سمت راست و چپ مسئله ريمن هستند. aR و aL، به ترتيب برابر و هستند که hR و hL، عمق آب در دو سمت مسئله‌اند. به علاوه با استفاده از اين روش مي‌توان جريان‌هاي داراي شوک را نيز با دقت بسيار مناسبي شبيه‌سازي نمود. کلياتي از نحوه حل معادلات حاکم با استفاده از اين روش را مي‌توان به صورت زير بيان نمود.
براي حل معادلات در ابتدا از معادلات (3-15)و (3-16) بر روي يك حجم كنترل انتگرال گرفته مي‌شود.
(3-15)
عبارت دوم سمت راست معادله فوق را مي‌توان به صورت معادله (3-15) از يك انتگرال حجمي به يك انتگرال سطحي تبديل نمود.
(3-16)
در رابطه فوق عبارت برابر با شار عبوري از مرزهاي حجم كنترل در جهت عمود بر آن‌ها مي‌باشد. در رابطه (3-16) انتگرال فوق به يك سري براي يك حجم كنترل با تعداد يال تبديل میشود.
(3-17)
نحوه محاسبه مقدار ، يكي از مواردي است كه باعث توسعه روش‌هاي عددي با مرتبه دقت‌هاي مختلف شده است. در اين مدل، همان طور که پيش‌تر هم اشاره گرديد، براي حل معادلات حاکم از روش (Horton-Lax-van Leer) که به اختصار HLL خوانده مي‌شود استفاده شده است. براي محاسبه مقدار و يا به عبارتي شار گذرنده از مرزها در روش HLL از رابطه (3-18) استفاده میشود.
, (3-18)
که در رابطه فوق انديس‌هاي و نمايانگر نقاط سمت چپ و راست هر المان محاسباتي، و نمايانگر مقدار پارامتر مورد نظر در نقاط سمت چپ و راست هر المان محاسباتي، SR و SL به ترتيب برابر با سرعت پيشروي موج در گره‌هاي سمت چپ و راست هر المان محاسباتي است که راه‌هاي مختلفي براي محاسبه آن‌ها وجود دارد و درعین‌حال مقدار آن‌ها براي پيشروي موج سيلاب در بسترهاي خشک و تر نيز متفاوت است. در مدل مورد استفاده براي محاسبه اين مقادير از روابط (3-19) استفاده شده است.
(3-19)
که نحوه محاسبه مقادير و در ادامه آمده است.
(3-20)
که در رابطه فوق انديس مي‌تواند يا انتخاب شود. همچنين مقدار ، از رابطه (3-21) قابل محاسبه است.
(3-21)
از آنجا که روش به کار گرفته‌شده جهت حل معادلات، از مجموعه روشهای صریح میباشد، کنترل پایداری روش، ضروری به نظر میرسد. جهت این امر اگر شرط ارائه‌شده توسط معیار کورانت ارضا شود، روش HLL پایدار خواهد بود. با اعمال این شرط برای جریان یک بعدی، گام زمانی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:
(3-22) ∆t=CFL.∆xqxh+gh
که 0